פתרון בגרות 2022 מועד ב גרסה גהנדסה אנליטית 572 · שיעור 52

הנדסה אנליטית · 5 יחידות · שאלון 572

שיעור 52: פתרון בגרות 2022 מועד ב גרסה ג

פרק 4: תרגול בגרויות 481-4 יחידות

1🔵 סעיף א: מציאת שיעורי הקודקוד B

2🟣 סעיף ב: מציאת משוואת האלכסון DB

3🟢 סעיף ג: מציאת משוואת המעגל החוסם את המשולש ABD

4🟩 סעיף ד: בדיקה אם הישר BC משיק למעגל בנקודה B

🔵 סעיף א: מציאת שיעורי הקודקוד B

נתונה מקבילית ABCD. הקודקוד B נמצא על ציר ה־x. האלכסון DB מאונך לצלע AB (ראו ציור).
נתון: A(0,−12).
משוואת הצלע DC היא: y = 25x + 17.
א. מצאו את שיעורי הקודקוד B.

B על ציר x ← y = 0.

במקבילית AB ∥ DC ← שיפועים שווים:

m_AB = 25

משוואת AB לפי שיפוע ונקודה A(0,−12):

y − (−12) = 25(x − 0)

y = 25x − 12

מציבים y = 0:

🔵 סעיף א: מציאת שיעורי הקודקוד B · המשך

מציבים y = 0:

0 = 25x − 12 |+12

12 = 25x |:25

x = 30

✅ B(30,0)

🟣 סעיף ב: מציאת משוואת האלכסון DB

ב. מצאו את משוואת DB.

DB ⊥ AB ← מכפלת השיפועים היא −1:

25 · m_DB = −1

m_DB = −52

ישר דרך B(30,0):

y − 0 = −52(x − 30)

y = −52x + 75

✅ y = −52x + 75

🟢 סעיף ג: מציאת משוואת המעגל החוסם את המשולש ABD

חוסמים את המשולש ABD במעגל.
ג. מצאו את משוואת המעגל.

הנקודה D – חיתוך DC ו־DB:

25x + 17 = −52x + 75

25x + 52x = 58

2910x = 58

x = 20

y = 25 · 20 + 17 = 25

D(20,25)

המרכז – הזווית ABD היא 90° ← AD הוא קוטר, והמרכז הוא אמצע AD:

x = 0 + 202 = 10

🟢 סעיף ג: מציאת משוואת המעגל החוסם את המשולש ABD · המשך

x = 0 + 202 = 10

y = −12 + 252 = 612

(10 , 612)

הרדיוס – המרחק מהמרכז ל־B:

R = √(30 − 10)² + (0 − 612)²

= √400 + 42.25 = √442.25

R² = 442.25

✅ (x − 10)² + (y − 612)²
= 442.25

🟩 סעיף ד: בדיקה אם הישר BC משיק למעגל בנקודה B

ד. האם הישר BC משיק למעגל בנקודה B? נמקו.

משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה ← צריך לבדוק אם BC ⊥ לרדיוס מהמרכז ל־B.

במקבילית BC ∥ AD:

m_BC = m_AD = 25 − (−12)20 − 0 = 3720

שיפוע הרדיוס (מהמרכז ל־B):

m_R = 0 − 61230 − 10 = −1340

3720 · (−1340) = −481800 ≠ −1

הישרים לא מאונכים.

✅ לא, BC אינו משיק למעגל בנקודה B

📌 לזכור

💡

מקבילית ← צלעות נגדיות מקבילות, שיפועים שווים.
ישרים מאונכים ← מכפלת השיפועים −1.
משולש ישר־זווית חסום במעגל ← היתר הוא קוטר, המרכז באמצע היתר.
משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא